Выражение под знаком логарифма должно быть

Область допустимых значений

выражение под знаком логарифма должно быть

Логарифмы исчезли напрочь, и вместе с ними исчезли Вспоминаем, что подлогарифменное выражение должно быть всегда больше. Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма должно. Основание степени должно быть положительным числом, отличным от единицы. 1) Под знаком логарифма должно стоять положительное число: Если под знаком логарифма стоит число, а в основании — выражение с.

На практике это всё куда проще делается. Берём тот же пример: Вспоминаем, что подлогарифменное выражение должно быть всегда больше нуля. Вот так прямо и пишем: Мы ничего не решали!

Мы просто записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Для каждого логарифма в примере. Знак системы фигурная скобка показывает, что эти условия должны выполняться одновременно. Не так уж и сложно, правда? Рекомендую всегда перед решением записывать ОДЗ в таком виде.

Чтобы потом, впопыхах, не забыть проверить корни на ОДЗ. Да и любой проверяющий сразу поймёт, что вы - в теме! Что делать с ОДЗ? Половина дела - сделана. Что дальше с этой записью делать?

Вот тут у нас возникают варианты. Решаем систему неравенств, которую мы записали для ОДЗ. Мы решаем только ОДЗ! Сам пример пока не трогаем! Получаем значения х, которые допустимы для данного уравнения.

Тот, кто умеет решать системы неравенств получит для нашего ОДЗ такой ответ: Теперь можно браться и за сам пример. Смело убирать логарифмы и всякие другие преобразования делать - исходные ограничения мы записали и сохранили.

Его мы просто отбрасываем. Хорошо тем, кто умеет решать системки неравенств, правда? А если с решением систем неравенств, того Как быть, как быть Но если уж совсем прижало Ладно, только для вас!

Логарифмы. Начальный уровень.

Вариант второй, только для нехитрых уравнений. Итак, мы записали ОДЗ в виде системы неравенств. Эту систему можно и не решать. Оставить как есть, вот так: Дальше решаем само логарифмическое уравнение, это несложно. Опять получаем два корня: А вот теперь, поочерёдно подставляем эти значения в систему неравенств ОДЗ.

Оба неравенства - верные. Значит, тройка проходит по ОДЗ и идёт прямиком в ответ. Минус два никак не больше нуля! Значит, этот корень не входит в ОДЗ. Он просто выбрасывается и ни в какой ответ не идёт. Замечу, что корень выбрасывается, если он не подходит хотя бы в одно неравенство системы.

Подчеркну, этот способ прост и нагляден. Решение неравенств заменяется простым счётом. Очень хорош в простых уравнениях. И не годится в логарифмических неравенствах. Да потому, что в ответе у неравенства, обычно, не один-два корня, а интервал.

А в способе-лайт в ОДЗ надо подставлять все значения Что представляется несколько затруднительным, да Здесь мы разобрали всего один простой пример. Но суть такой работы с ОДЗ неизменна для любых логарифмических уравнений. Ну вот, с ОДЗ - главной ловушкой в логарифмических уравнениях - мы разобрались. Самые внимательные могут спросить, почему в предыдущем уроке мы прекрасно обошлись без ОДЗ? Да просто там ОДЗ никак не сказалось на ответе! Решали, про ОДЗ - не вспомнили или вообще не знали Я же говорю - лотерея, если без ОДЗ решать А теперь - внимание!

И запоминайте одну простую мысль.

Сложные логарифмические неравенства

Эта мысль спасёт вас от путаницы в решении и каши в голове: Решение любого логарифмического уравнения состоит из двух равноценных частей. Одна часть - это решение самого уравнения. Вторая - решение условий ОДЗ. Эти части решаются независимо друг от друга. Стыковка результатов происходит на финишном этапе решения. Ключевое слово здесь - "независимо". Решая ОДЗ, можно не вспоминать про уравнение. Главное - в самом конце не забыть результаты сопоставить, лишнее выбросить, да верный ответ записать.

ОДЗ в логарифмические уравнениях.

Подведём итоги в практических советах. Прежде всего - записываем условия ОДЗ по исходному примеру. Выбираем, с чего начинать решение.

выражение под знаком логарифма должно быть

Можно начинать с уравнения, можно - с условий ОДЗ. Выбираем то, что решается полегче. Решив уравнение и ОДЗ, сводим результаты в общий ответ. Если пример позволяет, ОДЗ можно не решать.

Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят.

выражение под знаком логарифма должно быть

Их и взять за ответы. Ну и, как водится, порешаем. Например, говорят про область определения выражения [4. Также можно столкнуться с областью определения уравнения или неравенства [5. Как тут не спутать одно с другим?

выражение под знаком логарифма должно быть

Давайте будем придерживаться следующего подхода: И на загладку приведем такое утверждение: К началу страницы Как найти ОДЗ? Примеры, решения Прежде чем обратиться к главной теме этого пункта, нужно понимать, что значит найти ОДЗ, хотя это достаточно отчетливо ясно из определения.

выражение под знаком логарифма должно быть

Это значит, что надо указать множество всех допустимых значений переменных для заданного выражения. На это можно посмотреть и с другой стороны: Теперь можно двигаться. Однако почти постоянно приходится преобразовывать выражения, а это неявно требует нахождения области допустимых значений для ее контроля. В этом свете вопрос, как найти ОДЗ, очень злободневен. В поисках ответа на него поразмыслим, значения каких выражений мы не можем вычислить.

Во-первых, мы не можем вычислить значение выражения, в котором присутствует деление на нуль или дробь со знаменателем нуль, что по сути то же самоетак как этому действию мы не придали смысла.

выражение под знаком логарифма должно быть

Во-вторых, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, как и корень другой четной степени, о чем мы говорим когда вводили корень из числа. Здесь же заметим, что показателями корня могут быть лишь числа 2, 3, 4, и так далее, значит, значения выражений с корнями, имеющими другие показатели, мы тоже не можем вычислить. В-третьих, вспомним про степень числа.

Если степень числа с положительным целым показателем мы определили для любого действительного числа, то степень с целым отрицательным показателем мы определили уже с ограничением: Степени с положительным нецелым показателем мы придали смысл лишь для неотрицательных чисел, а с отрицательным нецелым показателем — лишь для положительных чисел.

А еще мы не можем вычислить нуль в степени нуль. В-четвертых, обратим внимание на логарифм числа. Его мы определили так, что не придали смысла логарифму отрицательного числа и числа нуль по любому основанию, а также логарифму положительного числа по отрицательному основанию и по основанию 1.

В-пятых, мы не определили тангенс чисела также котангенс чисел см. Что нам это дает? А то, что перечисленные выше моменты и нужно учитывать при поиске ОДЗ.

Как это делать, станет понятно из следующих примеров. Возвести в куб мы можем любое число, также мы умеем умножать любые числа, как и складывать и вычитать. Поэтому, мы можем вычислить значение заданного выражения при любых значениях переменных x и y.

11.1. Логарифмические выражения. Определение и свойства. Значения простых логарифмов.